[10공수1-01-01] 다항식의 사칙연산의 원리를 설명하고, 그 계산을 할 수 있다.

다항식의 기본 개념을 익힌 뒤, 덧셈·뺄셈 → 곱셈 → 나눗셈 순으로 사칙연산을 차례로 배운다.

1. 다항식의 기본

다항식의 사칙연산을 하려면 먼저 다항식이 무엇인지, 항·계수·차수·동류항을 어떻게 다루는지 알아야 한다.

1) 다항식

수와 문자, 그리고 문자의 거듭제곱을 곱하여 만든 식들을 항이라고 한다. 이러한 항이 하나 또는 두 개 이상 더해져 이루어진 식을 다항식이라고 한다.

예를 들어

$$3x^2,\quad -2x,\quad 5$$

는 각각 항이다. 이 항들을 더하여 만든 식

$$3x^2-2x+5$$

는 다항식이다.

다항식에서 항들은 덧셈으로 연결되어 있다고 생각한다. 따라서 뺄셈으로 보이는 부분도 음수인 항을 더한 것으로 볼 수 있다.

예를 들어

$$3x^2-2x+5$$

는

$$3x^2+(-2x)+5$$

와 같으므로, 이 다항식의 항은

$$3x^2,\quad -2x,\quad 5$$

이다.

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2) 항, 계수, 상수항

다항식을 이해하려면 먼저 항을 이루는 요소를 구분할 수 있어야 한다.

1) 항

다항식에서 더하기 또는 빼기로 구분되는 각각의 식을 항이라고 한다.

예를 들어

$$4x^3-2x^2+x-7$$

의 항은 다음과 같다.

$$4x^3,\quad -2x^2,\quad x,\quad -7$$

이때 $x$는 $1x$와 같으므로, $x$의 계수는 1이다.

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2) 계수

문자를 포함한 항에서 문자에 곱해진 수를 계수라고 한다.

예를 들어

$$4x^3-2x^2+x-7$$

에서 각 항의 계수는 다음과 같다.

$$4x^3 \text{의 계수는 } 4$$ $$-2x^2 \text{의 계수는 } -2$$ $$x \text{의 계수는 } 1$$

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3) 상수항

문자를 포함하지 않고 수만으로 이루어진 항을 상수항이라고 한다.

예를 들어

$$4x^3-2x^2+x-7$$

에서 상수항은

$$-7$$

이다.

상수항은 문자가 없기 때문에 $x$의 값이 변해도 값이 변하지 않는 항이다.

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용어	의미	예시 ($4x^3 - 2x^2 + x - 7$)
항 (term)	덧셈 또는 뺄셈으로 구분되는 각각의 부분	$4x^3$, $-2x^2$, $x$, $-7$
계수 (coefficient)	문자에 곱해진 수 (부호 포함)	$4$, $-2$, $1$
상수항 (constant term)	문자를 포함하지 않는 항	$-7$

3) 차수

1) 항의 차수

항에서 문자가 몇 번 곱해져 있는지를 나타내는 수를 그 항의 차수라고 한다.

예를 들어 한 문자 $x$에 대한 항의 차수는 $x$의 지수로 판단한다.

$$3x^2$$

에서 $x$가 두 번 곱해져 있으므로 차수는 2이다.

$$-5x^4$$

에서 $x$가 네 번 곱해져 있으므로 차수는 4이다.

$$7x$$

는 $7x^1$과 같으므로 차수는 1이다.

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2) 여러 문자가 있는 항의 차수

여러 문자가 곱해진 항에서는 각 문자의 지수를 모두 더하여 차수를 구한다.

예를 들어

$$2x^2y$$

에서 $x$의 지수는 2이고, $y$의 지수는 1이다. 따라서 이 항의 차수는

$$2+1=3$$

이다.

또,

$$-3xy^2$$

의 차수는

$$1+2=3$$

이다.

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3) 다항식의 차수

다항식에서 차수가 가장 큰 항의 차수를 그 다항식의 차수라고 한다.

예를 들어

$$2x^3-4x^2+x-1$$

에서 각 항의 차수는 다음과 같다.

$$2x^3: 3,\quad -4x^2: 2,\quad x: 1,\quad -1: 0$$

가장 큰 차수는 3이므로, 이 다항식의 차수는 3이다.

또,

$$x^2y+3xy-5$$

에서 각 항의 차수는 다음과 같다.

$$x^2y: 3,\quad 3xy: 2,\quad -5: 0$$

따라서 이 다항식의 차수는 3이다.

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항	$x$의 지수	$y$의 지수	차수
$3x^2$	$2$	—	$2$
$-5x^4$	$4$	—	$4$
$7x$	$1$	—	$1$
$2x^2y$	$2$	$1$	$3$
$-3xy^2$	$1$	$2$	$3$
$5$ (상수항)	$0$	$0$	$0$

4) 동류항

다항식에서 문자와 차수가 각각 같은 항을 동류항이라고 한다.

예를 들어

$$3x^2,\quad -5x^2$$

는 둘 다 문자가 $x$이고 차수가 2이므로 동류항이다.

$$2xy,\quad -7xy$$

도 문자 $x, y$가 같고 각 문자의 차수도 같으므로 동류항이다.

그러나

$$3x^2,\quad 3x$$

는 문자는 같지만 차수가 다르므로 동류항이 아니다.

또,

$$2x,\quad 2y$$

는 차수는 같지만 문자가 다르므로 동류항이 아니다.

동류항인지 판단할 때에는 계수는 달라도 된다. 중요한 것은 문자 부분이 같은가이다.

예를 들어

$$4x^2,\quad -x^2,\quad \frac{1}{2}x^2$$

는 모두 동류항이다. 계수는 각각 다르지만 문자 부분이 모두 $x^2$로 같기 때문이다.

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항 쌍	문자	차수	동류항?
$3x^2$, $-5x^2$	$x$	$2$	✓ (동류항)
$2xy$, $-7xy$	$x, y$	$1+1=2$	✓ (동류항)
$3x^2$, $3x$	$x$	$2 \neq 1$	✗ (차수 다름)
$2x$, $2y$	$x \neq y$	$1$	✗ (문자 다름)
$4x^2$, $-x^2$, $\frac{1}{2}x^2$	$x$	$2$	✓ (계수 무관)

5) 다항식의 정리

다항식은 항의 순서가 달라도 같은 식을 나타낸다. 그러나 계산을 편리하게 하기 위해 보통 일정한 기준에 따라 항을 배열한다.

다항식을 한 문자에 대하여 정리할 때에는 항의 차수를 기준으로 한다.

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1) 내림차순 정리

다항식을 한 문자에 대하여 차수가 높은 항부터 낮은 항의 순서로 나타내는 것을 내림차순으로 정리한다고 한다.

예를 들어

$$3-2x+x^3+4x^2$$

를 $x$에 대하여 내림차순으로 정리하면

$$x^3+4x^2-2x+3$$

이다.

각 항의 차수를 보면

$$x^3: 3,\quad 4x^2: 2,\quad -2x: 1,\quad 3: 0$$

이므로 차수가 큰 순서대로 배열한 것이다.

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2) 오름차순 정리

다항식을 한 문자에 대하여 차수가 낮은 항부터 높은 항의 순서로 나타내는 것을 오름차순으로 정리한다고 한다.

예를 들어

$$3-2x+x^3+4x^2$$

를 $x$에 대하여 오름차순으로 정리하면

$$3-2x+4x^2+x^3$$

이다.

각 항을 차수가 낮은 순서로 배열하면

$$3: 0,\quad -2x: 1,\quad 4x^2: 2,\quad x^3: 3$$

이 된다.

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정리 방식	기준	예: $3-2x+x^3+4x^2$
내림차순	차수 높은 항 → 낮은 항	$x^3 + 4x^2 - 2x + 3$
오름차순	차수 낮은 항 → 높은 항	$3 - 2x + 4x^2 + x^3$

6) 여러 문자가 있는 다항식의 정리

다항식에 문자가 두 개 이상 있을 때에는 어떤 문자에 대하여 정리하는지를 먼저 정해야 한다.

예를 들어

$$x^2y+3x^3-2xy^2+5$$

를 $x$에 대하여 내림차순으로 정리해 보자.

각 항에서 $x$의 차수만 보면 다음과 같다.

$$3x^3: x\text{의 차수 }3$$ $$x^2y: x\text{의 차수 }2$$ $$-2xy^2: x\text{의 차수 }1$$ $$5: x\text{의 차수 }0$$

따라서 $x$에 대하여 내림차순으로 정리하면

$$3x^3+x^2y-2xy^2+5$$

이다.

이번에는 같은 식을 $y$에 대하여 내림차순으로 정리해 보자.

$$-2xy^2: y\text{의 차수 }2$$ $$x^2y: y\text{의 차수 }1$$ $$3x^3: y\text{의 차수 }0$$ $$5: y\text{의 차수 }0$$

따라서 $y$에 대하여 내림차순으로 정리하면

$$-2xy^2+x^2y+3x^3+5$$

이다.

같은 다항식이라도 어떤 문자에 대하여 정리하느냐에 따라 항의 순서가 달라질 수 있다.

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7) 핵심 정리

개념	설명
항	수와 문자의 곱으로만 이루어진 식
계수	문자에 곱해진 수 (부호 포함)
상수항	문자를 포함하지 않는 항
항의 차수	모든 문자의 지수의 합
다항식의 차수	가장 높은 차수를 가진 항의 차수
동류항	문자와 차수가 각각 같은 항
내림차순	차수 높은 항 → 낮은 항
오름차순	차수 낮은 항 → 높은 항

다항식을 공부할 때에는 다음 개념을 정확히 구분해야 한다.

• 다항식은 하나 또는 두 개 이상의 항의 합으로 이루어진 식이다.
• 항은 덧셈 또는 뺄셈으로 구분되는 각각의 부분이다.
• 계수는 문자에 곱해진 수이다.
• 상수항은 문자를 포함하지 않는 항이다.
• 항의 차수는 문자들의 지수의 합이다.
• 다항식의 차수는 가장 높은 차수를 가진 항의 차수이다.
• 동류항은 문자와 차수가 각각 같은 항이다.
• 다항식은 필요에 따라 내림차순 또는 오름차순으로 정리한다.

다항식의 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈은 모두 이러한 기본 개념을 바탕으로 이루어진다. 따라서 항, 계수, 차수, 동류항, 정리 방법을 정확히 이해하는 것이 다항식 단원의 출발점이다.

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연습 문제

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2. 다항식의 덧셈과 뺄셈

다항식의 덧셈과 뺄셈은 새로운 계산 방법을 따로 배우는 것이 아니라, 동류항끼리 모아 계수를 계산하는 것이 핵심이다. 뺄셈은 빼는 식의 각 항의 부호를 바꾸어 덧셈으로 고쳐 계산한다.

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1) 다항식의 덧셈

다항식의 덧셈은 앞에서 배운 동류항끼리 모아서 계산하는 것이다. 문자 부분은 그대로 두고 계수끼리만 더하면 된다.

예를 들어 다음 식을 계산해 보자.

$$(2x^2+3x+1)+(x^2-5x+4)$$

따라서

$$(2x^2+3x+1)+(x^2-5x+4)=3x^2-2x+5$$

이다.

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2) 다항식의 뺄셈

예를 들어 다음 식을 계산해 보자.

$$(3x^2-2x+5)-(x^2+4x-1)$$

원래 항	부호 바꾼 후
$x^2$	$-x^2$
$+4x$	$-4x$
$-1$	$+1$

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3) 덧셈과 뺄셈의 계산 순서

다항식의 덧셈과 뺄셈은 다음 순서로 계산하면 실수를 줄일 수 있다.

단계	덧셈	뺄셈
1. 괄호 풀기	그대로 풀기	빼는 식의 부호를 모두 바꾸기
2. 동류항 묶기	문자·차수가 같은 항끼리	동일
3. 계수 계산	계수끼리 더하기	계수끼리 더하기(부호 포함)
4. 정리	내림차순으로 배열	동일

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4) 예제 — 덧셈

다음 식을 계산하시오.

$$(4x^3-2x^2+x-3)+(x^3+5x^2-4x+7)$$

따라서 답은

$$5x^3+3x^2-3x+4$$

이다.

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5) 예제 — 뺄셈

다음 식을 계산하시오.

$$(5x^2-3x+2)-(2x^2+x-6)$$

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6) 다항식의 덧셈에 대한 성질

다항식의 덧셈에서도 수의 덧셈에서와 같이 교환법칙과 결합법칙이 성립한다.

예를 들어 교환법칙:

$$(2x+1)+(x-3) = (x-3)+(2x+1) = 3x-2$$

성질	공식	의미
교환법칙	$A + B = B + A$	더하는 순서를 바꿔도 같다
결합법칙	$(A+B)+C = A+(B+C)$	묶는 순서를 바꿔도 같다

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7) 핵심 정리

개념	설명
덧셈	동류항끼리 모아 계수를 더한다
뺄셈	빼는 식의 각 항 부호를 바꾸어 덧셈으로 고친다 ($A-B=A+(-B)$)
동류항 계산	문자 부분은 그대로, 계수끼리만 계산
교환법칙	$A + B = B + A$
결합법칙	$(A+B)+C = A+(B+C)$

다항식의 덧셈과 뺄셈에서 가장 중요한 원리는 다음과 같다.

• 다항식의 덧셈은 동류항끼리 모아서 계산한다.
• 동류항은 문자와 차수가 같은 항이다.
• 동류항을 계산할 때에는 문자 부분은 그대로 두고 계수끼리 계산한다.
• 다항식의 뺄셈은 빼는 식의 각 항의 부호를 바꾸어 덧셈으로 고친다.
• 다항식의 덧셈에서는 교환법칙 $A+B=B+A$가 성립한다.
• 다항식의 덧셈에서는 결합법칙 $(A+B)+C=A+(B+C)$가 성립한다.

따라서 다항식의 덧셈과 뺄셈은 결국 동류항을 정확히 찾고, 부호를 올바르게 처리하는 계산이라고 할 수 있다.

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연습 문제

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3. 다항식의 곱셈

동류항을 모아 덧셈·뺄셈을 할 수 있다면, 다음으로는 항끼리 곱하는 방법을 배운다. 다항식의 곱셈은 분배법칙을 이용하여 각 항을 서로 곱한 뒤, 동류항끼리 모아 정리하는 계산이다. 이때 문자의 거듭제곱이 곱해질 때에는 지수법칙을 사용한다.

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1) 다항식의 곱셈의 기본 원리

두 다항식을 곱할 때에는 한 다항식의 각 항을 다른 다항식의 각 항에 모두 곱한다. 이것은 분배법칙을 이용한 것이다.

예를 들어

$$(x+2)(x+3)$$

을 계산해 보자.

단계	내용
1	분배법칙으로 각 항을 모두 곱한다
2	문자끼리 곱할 때 지수법칙을 사용한다
3	동류항끼리 모아 정리한다
4	보통 내림차순으로 나타낸다

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2) 분배법칙을 이용한 전개

다항식의 곱을 하나의 다항식으로 나타내는 것을 전개한다고 한다.

예를 들어

$$(x+1)(x^2+2x+3)$$

을 전개해 보자.

따라서

$$(x+1)(x^2+2x+3)=x^3+3x^2+5x+3$$

이다.

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3) 지수법칙의 활용

다항식의 곱셈에서는 같은 문자의 거듭제곱을 곱하는 경우가 많다. 이때 지수법칙을 사용한다.

예를 들어

$$x^2 \cdot x^3=x^{2+3}=x^5$$

이고,

$$3x^2 \cdot 2x=6x^3$$

이다. 계수끼리 $3 \cdot 2 = 6$, 문자 부분 $x^2 \cdot x = x^3$.

계산	계수	문자 부분	결과
$3x^2 \cdot 2x$	$3 \times 2 = 6$	$x^2 \cdot x = x^3$	$6x^3$
$x^2 \cdot x^3$	—	$x^{2+3} = x^5$	$x^5$
$(-2xy)(3x^2y^3)$	$-6$	$x^3 y^4$	$-6x^3y^4$

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4) 다항식의 곱셈에 대한 성질

다항식의 곱셈에서도 수의 곱셈에서와 같이 교환법칙, 결합법칙, 분배법칙이 성립한다.

성질	공식	의미
교환법칙	$AB = BA$	곱하는 순서를 바꿔도 같다
결합법칙	$(AB)C = A(BC)$	어느 두 식을 먼저 곱해도 같다
분배법칙	$A(B+C) = AB + AC$	괄호 안의 각 항에 곱한다

1) 교환법칙

$$(x+1)(x+2)=(x+2)(x+1)=x^2+3x+2$$

2) 결합법칙

$$(x+1)(x-1)(x+2)$$

에서 먼저 $(x+1)(x-1)$을 계산해도 되고, 먼저 $(x-1)(x+2)$를 계산해도 된다.

3) 분배법칙

$$x(x+3)=x^2+3x$$ $$(x+2)(x+3)=x(x+3)+2(x+3)$$

다항식의 곱셈에서 가장 많이 사용하는 성질이 바로 분배법칙이다.

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5) 주요 곱셈 공식

다항식의 곱셈을 매번 분배법칙으로 모두 전개할 수도 있지만, 자주 나오는 형태는 곱셈 공식으로 정리해 두면 빠르고 정확하게 계산할 수 있다. 곱셈 공식은 모두 분배법칙을 이용하여 얻을 수 있는 항등식이다.

1) $(a+b)^2$

2) $(a-b)^2$

$$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$$

$(a+b)^2$와 비교하면 가운데 항의 부호만 다르다.

3) $(a+b)(a-b)$

4) $(a+b)^3$, 5) $(a-b)^3$

$$(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$$ $$(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$$

$(a+b)^3$은 부호가 $+,+,+,+$이고, $(a-b)^3$은 $+,-,+,-$ 순서이다.

6) $(a+b+c)^2$

$$(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca$$

각 항의 제곱($a^2, b^2, c^2$)과 서로 다른 두 항의 곱의 2배($2ab, 2bc, 2ca$)로 기억한다.

7) $(a+b)(a^2-ab+b^2)$, $(a-b)(a^2+ab+b^2)$

$$(a+b)(a^2-ab+b^2)=a^3+b^3$$ $$(a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3$$

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6) 곱셈 공식 정리

공식	식
합의 제곱	$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
차의 제곱	$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
합과 차의 곱	$(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$
합의 세제곱	$(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$
차의 세제곱	$(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$
세 항의 제곱	$(a+b+c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca$
합의 세제곱근	$(a+b)(a^2-ab+b^2) = a^3 + b^3$
차의 세제곱근	$(a-b)(a^2+ab+b^2) = a^3 - b^3$

이 공식들은 단순히 외우는 것에 그치지 말고, 모두 분배법칙으로 전개하여 얻을 수 있음을 이해해야 한다.

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7) 예제

다음 식을 전개하시오.

$$(x-2)(x^2+2x+4)$$

따라서

$$(x-2)(x^2+2x+4)=x^3-8$$

이다.

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8) 핵심 정리

개념	설명
전개	분배법칙으로 각 항을 모두 곱한 뒤 동류항 정리
지수법칙	$x^m \cdot x^n = x^{m+n}$
성질	교환법칙, 결합법칙, 분배법칙 성립
곱셈 공식	자주 쓰는 형태를 공식으로 외워 빠르게 계산

다항식의 곱셈에서 알아야 할 핵심은 다음과 같다.

• 다항식의 곱셈은 분배법칙을 이용하여 각 항을 모두 곱한다.
• 전개한 뒤에는 동류항끼리 모아 정리한다.
• 같은 문자의 거듭제곱을 곱할 때에는 지수법칙을 사용한다.
• 다항식의 곱셈에서는 교환법칙, 결합법칙, 분배법칙이 성립한다.
• 자주 나오는 형태는 곱셈 공식으로 정리해 두면 계산을 빠르고 정확하게 할 수 있다.
• 곱셈 공식은 외워야 할 식이지만, 그 출발은 모두 분배법칙이다.

따라서 다항식의 곱셈은 분배법칙으로 전개하고, 지수법칙으로 문자 부분을 계산하며, 동류항끼리 정리하는 과정이라고 할 수 있다.

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연습 문제

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4. 다항식의 나눗셈

곱셈까지 익혔다면 사칙연산의 마지막인 나눗셈으로 넘어간다. 나눗셈에서는 몫과 나머지의 관계, 그리고 일차식으로 나눌 때 쓰는 조립제법이 중요하다. 다항식의 나눗셈은 자연수의 나눗셈과 비슷하게 생각할 수 있다. 자연수에서

$$125=7\times17+6$$

처럼 나타내듯이, 다항식에서도 나누어지는 식을 나누는 식 × 몫 + 나머지의 꼴로 나타낸다.

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1) 다항식의 나눗셈의 기본 구조

다항식 $A$를 다항식 $B$로 나누었을 때, 몫을 $Q$, 나머지를 $R$이라고 하면 다음과 같이 나타낼 수 있다.

$$A=BQ+R$$

이때 $A$는 나누어지는 다항식, $B$는 나누는 식, $Q$는 몫, $R$은 나머지이다.

예를 들어

$$2x^2+3x+4=(x+1)(2x+1)+3$$

에서

$$A=2x^2+3x+4,\quad B=x+1,\quad Q=2x+1,\quad R=3$$

이다.

기호	이름	예시
$A$	나누어지는 다항식	$2x^2 + 3x + 4$
$B$	나누는 다항식	$x + 1$
$Q$	몫	$2x + 1$
$R$	나머지	$3$

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2) 몫과 나머지

예를 들어

$$(2x^2+3x+4)\div(x+1)$$

의 결과가

$$\text{몫 } 2x+1,\quad \text{나머지 } 3$$

이라면

$$2x^2+3x+4=(x+1)(2x+1)+3$$

즉, 나누어지는 다항식은 나누는 식 × 몫 + 나머지로 다시 나타낼 수 있다.

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3) 나머지의 차수 조건

예를 들어 나누는 식이 일차식 $x-2$라면, 나누는 식의 차수는 1이다. 따라서 나머지는 상수가 된다.

$$P(x)=(x-2)Q(x)+R \quad (R \text{는 상수})$$

나누는 식이 이차식 $x^2+1$이라면, 나머지는 일차식 또는 상수가 된다.

$$P(x)=(x^2+1)Q(x)+(ax+b)$$

나누는 식	나누는 식의 차수	나머지의 형태
$x - 2$	$1$	상수
$x^2 + 1$	$2$	일차식 $ax + b$ 또는 상수
$x - 1$	$1$	상수

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4) 다항식의 나눗셈 방법

다항식의 나눗셈은 먼저 나누어지는 식과 나누는 식을 내림차순으로 정리한 뒤, 자연수의 나눗셈과 비슷한 방법으로 계산한다.

예를 들어

$$(2x^2+3x+4)\div(x+1)$$

을 계산해 보자.

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5) 조립제법

다항식을 일차식으로 나눌 때에는 나눗셈 과정을 모두 쓰지 않고, 계수만을 이용하여 몫과 나머지를 구할 수 있다. 조립제법은 특히 나누는 식이

$$x-a$$

꼴일 때 편리하다. 이때 $x-a=0$을 만족하는 값 $a$를 이용하여 계산한다.

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6) 조립제법의 원리

예를 들어

$$2x^3+3x^2-6x+1$$

을

$$x-2$$

로 나누어 보자. 나누는 식이 $x-2$이므로 $x=2$를 사용한다.

먼저 나누어지는 다항식의 계수를 차수 순서대로 쓴다.

$$2,\quad 3,\quad -6,\quad 1$$

이제 조립제법을 적용한다.

조립제법

2

x³

x²

x

상수

2

3

-6

1

4

14

16

2

7

8

17

나머지

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7) 조립제법을 사용할 때 주의할 점

주의 사항	설명	예시
내림차순 정리	계수를 차수 높은 순으로 쓴다	$x^3 - 3x + 5$
빠진 항은 $0$	없는 차수의 계수를 $0$으로	$1,\ 0,\ -3,\ 5$
$a$ 값 확인	$x-a$에서 $a$ 사용	$x-3$ → $3$, $x+2$ → $-2$
결과 해석	마지막 = 나머지, 앞 = 몫 계수	몫 차수 = 원래 차수 $-1$

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8) 나누는 식이 $ax+b$인 경우

예를 들어 $2x-1$로 나누는 경우,

$$2x-1=0 \quad \Rightarrow \quad x=\frac12$$

이다. 먼저 $x-\frac12$로 나누는 조립제법을 생각한 뒤, 나누는 식이 $2x-1$임을 반영하여 몫을 조정한다. 나머지는 그대로이다.

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9) 핵심 정리

개념	설명
기본 구조	$A = BQ + R$
나머지 조건	상수이거나, 나누는 식보다 차수가 낮음
나누어떨어짐	나머지 $R = 0$
나눗셈 방법	내림차순 정리 → 최고차항끼리 나누기 반복
조립제법	$x - a$ 로 나눌 때 계수만으로 몫·나머지 구하기
주의	빠진 차수의 항은 계수 $0$으로 표시

다항식의 나눗셈에서 핵심은 다음과 같다.

• 다항식 $A$를 다항식 $B$로 나누었을 때 $A=BQ+R$ 로 나타낸다.
• $Q$는 몫, $R$은 나머지이다.
• 나머지 $R$은 상수이거나, 나누는 식 $B$보다 차수가 낮아야 한다.
• 나머지가 $0$이면 $A$는 $B$로 나누어떨어진다.
• 다항식의 나눗셈은 내림차순으로 정리한 뒤 자연수 나눗셈과 비슷하게 계산한다.
• 일차식 $x-a$로 나눌 때에는 조립제법을 이용하면 계수만으로 몫과 나머지를 빠르게 구할 수 있다.
• 조립제법에서는 빠진 차수의 항을 반드시 계수 $0$으로 나타내야 한다.

따라서 다항식의 나눗셈은 나누어지는 식을 나누는 식과 몫, 나머지로 다시 표현하는 과정이며, 조립제법은 그중 일차식으로 나누는 경우를 빠르게 처리하는 계산 방법이다.

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연습 문제