[10공수1-01-02] 항등식의 성질과 나머지정리를 이해하고, 이를 활용하여 문제를 해결할 수 있다.

항등식의 성질로 미정계수를 구하고, 나머지 정리로 나눗셈 결과를 빠르게 구하는 것이 이 단원의 목표이다. 앞에서 배운 다항식의 나눗셈·조립제법이 나머지 정리에서 다시 활용된다.

1. 항등식

1) 항등식의 뜻

문자를 포함한 등식에서, 문자에 어떤 값을 대입하여도 항상 성립하는 등식을 그 문자에 대한 항등식이라고 한다.

예를 들어

$$(x+1)^2=x^2+2x+1$$

은 $x$에 어떤 값을 대입해도 항상 참이다. 따라서 이 등식은 $x$에 대한 항등식이다.

반면에

$$x+3=7$$

은 $x=4$일 때만 참이고, $x$에 아무 값이나 대입해도 항상 참인 것은 아니다. 따라서 이 등식은 항등식이 아니다.

---

2) 항등식과 방정식의 차이

항등식과 방정식은 모두 등식이지만 성립하는 방식이 다르다.

구분	성립 조건	예시
방정식	특정한 값에서만 성립	$x + 2 = 5$ ($x = 3$일 때만 참)
항등식	모든 값에서 항상 성립	$x + 2 = x + 2$, $(x+2)(x-2) = x^2 - 4$

$$x+2=5$$

는 $x=3$일 때만 성립한다. 따라서 이것은 방정식이다.

$$x+2=x+2$$

는 $x$에 어떤 값을 넣어도 항상 성립한다. 따라서 이것은 항등식이다.

---

3) 항등식의 성질

1) $ax^2+bx+c=0$이 항등식인 경우

등식

$$ax^2+bx+c=0$$

이 $x$에 대한 항등식이라면, 좌변의 다항식이 항상 0이 되어야 하므로

$$a=0,\quad b=0,\quad c=0$$

이다.

2) 두 다항식이 항등식으로 같은 경우

$$ax^2+bx+c=a'x^2+b'x+c'$$

이 $x$에 대한 항등식이면 양변의 동류항 계수가 각각 같다.

$$a=a',\quad b=b',\quad c=c'$$

예를 들어

$$2x^2+3x+1=ax^2+bx+c$$

가 항등식이면 $a=2$, $b=3$, $c=1$이다.

항등식 형태	결과
$ax^2 + bx + c = 0$	$a = 0$, $b = 0$, $c = 0$
$ax^2 + bx + c = a'x^2 + b'x + c'$	$a = a'$, $b = b'$, $c = c'$

---

4) 계수 비교

항등식에서는 양변의 같은 차수의 항의 계수가 각각 같다. 이 성질을 이용하여 미지의 계수를 구할 수 있다. 이를 계수 비교라고 한다.

예를 들어 다음 등식이 $x$에 대한 항등식이 되도록 상수 $a,b,c$의 값을 구해 보자.

$$x^2+3x+2=a(x^2-x)+b(x-1)+c$$

---

5) 미정계수법

미정계수법에는 대표적으로 두 가지 방법이 있다.

1. 양변을 전개하여 동류항의 계수를 비교하는 방법
2. 문자에 적당한 값을 대입하여 계수를 구하는 방법

두 방법은 모두 항등식이 모든 값에서 항상 성립한다는 사실을 이용한다.

방법	핵심 아이디어
계수 비교법	양변을 전개한 뒤 동류항 계수를 비교
값 대입법	계산이 쉬워지는 $x$ 값을 골라 대입

---

6) 미정계수법 1: 계수 비교 방법

계수 비교 방법은 다음 순서로 사용한다.

1. 양변을 전개한다.
2. 같은 문자, 같은 차수의 항끼리 정리한다.
3. 양변의 동류항 계수를 비교한다.
4. 만들어진 식을 풀어 미정계수를 구한다.

---

7) 미정계수법 2: 특정 값 대입 방법

예를 들어

$$x^2+3x+2=ax(x-1)+b(x-1)+c$$

---

8) 계수 비교 방법과 값 대입 방법의 선택

방법	편리한 경우	예시
계수 비교	전개 후 동류항이 뚜렷할 때	$ax^2+bx+c = 2x^2-5x+3$ → 바로 $a=2, b=-5, c=3$
값 대입	$(x-1)$, $(x+2)$ 등 인수가 있을 때	$x=1$ 대입 시 $(x-1)$ 항이 $0$ → $c$를 바로 구함

---

9) 핵심 정리

개념	설명
항등식	모든 값에서 항상 성립하는 등식
$ax^2+bx+c=0$ 항등식	$a=b=c=0$
두 다항식 항등식	동류항 계수가 각각 같음
계수 비교법	전개 → 동류항 계수 비교
값 대입법	계산이 쉬운 $x$ 값을 대입

항등식에서 알아야 할 핵심은 다음과 같다.

• 항등식은 문자에 어떤 값을 대입해도 항상 성립하는 등식이다.
• $ax^2+bx+c=0$이 $x$에 대한 항등식이면 $a=0,\ b=0,\ c=0$ 이다.
• $ax^2+bx+c=a'x^2+b'x+c'$이 항등식이면 $a=a',\ b=b',\ c=c'$ 이다.
• 항등식에서는 양변의 동류항의 계수를 비교할 수 있다.
• 미정계수법은 항등식의 성질을 이용하여 정해지지 않은 계수를 구하는 방법이다.

따라서 항등식은 단순히 “항상 참인 등식”이라는 뜻을 넘어서, 다항식의 계수를 비교하고 미지의 계수를 구하는 데 중요한 도구가 된다.

---

연습 문제

---

항등식에서는 임의의 값을 대입해도 등식이 성립한다. 나머지 정리도 같은 아이디어에서 출발한다. 다항식 $P(x)$를 $x-a$로 나눌 때의 나머지는, 나눗셈 전체를 하지 않아도 $P(a)$만 계산하면 구할 수 있다. 이 결과는 조립제법으로 구한 나머지와 일치하며, 인수 정리의 기반이 된다.

2. 나머지 정리

1) 나머지 정리의 뜻

다항식 $P(x)$를 일차식 $x-a$로 나누었을 때의 나머지는, 직접 나눗셈을 하지 않아도 $P(x)$에 $x=a$를 대입하여 구할 수 있다. 앞에서 배운 조립제법으로 구한 나머지와 항상 같은 값이다.

예를 들어 $P(x)$를 $x-3$으로 나눈 나머지는 $P(3)$이고, $P(x)$를 $x+2$로 나눈 나머지는 $P(-2)$이다.

나누는 식	$a$ 값	나머지
$x - 3$	$3$	$P(3)$
$x + 2$	$-2$	$P(-2)$
$x - 2$	$2$	$P(2)$

---

2) 나머지 정리가 성립하는 이유

즉, $P(x)=(x-a)Q(x)+R$ 에서 $x=a$를 대입하면 $P(a)=R$ 이다.

---

3) 나머지 정리의 핵심 공식

주의 사항	설명
나누는 식	$x - a$ 꼴이어야 한다
$a$ 찾기	$x - a = 0$ 에서 $a$를 구한다
대입	$P(a)$가 바로 나머지
나머지 형태	일차식으로 나누므로 나머지는 항상 상수

---

4) 나머지 빠르게 구하기

나머지 정리를 이용하면 다항식의 나눗셈을 직접 하지 않고도 나머지를 빠르게 구할 수 있다.

예를 들어

$$P(x)=x^3-2x^2+3x-5$$

를 $x-2$로 나누었을 때의 나머지를 구해 보자.

---

5) $x+a$로 나눌 때

예를 들어 $P(x)=2x^2+x-4$ 를 $x+3$으로 나누었을 때:

$$x+3 = x-(-3) \quad \Rightarrow \quad a = -3$$

나머지는 $P(-3)$ 이다.

---

6) $ax+b$로 나눌 때의 나머지

예를 들어 $P(x)$를 $2x-1$로 나눌 때:

$$2x - 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = \frac12$$

나머지는 $P\left(\frac12\right)$ 이다.

나누는 식	대입할 $x$ 값
$x - a$	$a$
$x + a$	$-a$
$ax + b$	$-\frac{b}{a}$

---

7) 조건에서 식 만들기

나머지 정리는 미지 계수를 구하는 데에도 사용된다.

예를 들어

$$P(x)=x^3+ax^2-3x+1$$

을 $x-2$로 나누었을 때의 나머지가 $5$라고 하자.

---

8) 두 조건이 주어진 경우

나머지 정리는 조건이 두 개 이상 주어진 문제에서도 사용할 수 있다.

예: $P(x)$를 $x-1$로 나누면 나머지 $2$, $x-3$으로 나누면 나머지 $8$.

$(x-1)(x-3)$으로 나눌 때 나머지는 일차식 $ax+b$ 로 놓을 수 있다.

---

9) 나머지 정리와 나누어떨어짐

$$P(a) = 0 \quad \Leftrightarrow \quad P(x) \text{는 } x - a \text{로 나누어떨어진다}$$

---

10) 핵심 정리

상황	나머지
$x - a$ 로 나눌 때	$P(a)$
$x + a$ 로 나눌 때	$P(-a)$
$ax + b$ 로 나눌 때	$P\left(-\frac{b}{a}\right)$
나머지가 $k$	$P(a) = k$ 로 방정식 세우기
$P(a) = 0$	$x - a$로 나누어떨어짐 (인수)

나머지 정리에서 알아야 할 핵심은 다음과 같다.

• 다항식 $P(x)$를 $x-a$로 나누었을 때의 나머지는 $P(a)$이다.
• 나누는 식이 $x+a$일 때에는 $-a$를 대입한다.
• 나누는 식이 $ax+b$일 때에는 $-\frac{b}{a}$를 대입한다.
• 나머지 정리를 이용하면 직접 나눗셈을 하지 않고도 나머지를 구할 수 있다.
• “나머지가 얼마이다”라는 조건은 $P(a)=\text{나머지}$라는 식으로 바꿀 수 있다.
• $P(a)=0$이면 $P(x)$는 $x-a$로 나누어떨어진다.

따라서 나머지 정리는 다항식의 나눗셈을 직접 계산하지 않고, 대입만으로 나머지를 구하게 해 주는 중요한 정리이다.

---

연습 문제