[10공수1-01-03] 다항식의 인수분해를 할 수 있다.

인수 정리는 “$P(a)=0$이면 $x-a$가 인수”라는 연결고리를 주고, 인수분해는 이를 포함한 여러 방법으로 다항식을 곱의 형태로 되돌리는 과정이다.

1. 인수 정리

1) 인수의 뜻

하나의 다항식이 두 개 이상의 다항식의 곱으로 나타날 때, 곱을 이루는 각각의 식을 처음 다항식의 인수라고 한다.

예를 들어

$$x^2-1=(x-1)(x+1)$$

이므로 $x-1$과 $x+1$은 $x^2-1$의 인수이다.

$$x^2+3x+2=(x+1)(x+2)$$

이므로 $x+1$과 $x+2$는 $x^2+3x+2$의 인수이다.

다항식	인수분해	인수
$x^2 - 1$	$(x-1)(x+1)$	$x-1$, $x+1$
$x^2 + 3x + 2$	$(x+1)(x+2)$	$x+1$, $x+2$
$x^2 - 5x + 6$	$(x-2)(x-3)$	$x-2$, $x-3$

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2) 인수 정리

즉, 다음 두 문장은 서로 같은 뜻이다.

• $P(a) = 0$ → $x - a$는 $P(x)$의 인수
• $x - a$가 $P(x)$의 인수 → $P(a) = 0$

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3) 인수 정리가 성립하는 이유

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4) 인수와 근의 관계

인수 정리에 의해 다음 관계가 성립한다.

$$a \text{가 } P(x)=0 \text{의 근} \quad \Longleftrightarrow \quad x-a \text{는 } P(x) \text{의 인수}$$

즉, 근을 알면 인수를 알 수 있고, 인수를 알면 근을 알 수 있다.

$P(a) = 0$	의미	인수
$P(2) = 0$	$2$는 근	$x - 2$
$P(3) = 0$	$3$는 근	$x - 3$
$P(-1) = 0$	$-1$는 근	$x + 1$ (= x - (-1))$

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5) 인수 정리를 이용한 인수 찾기

인수 정리를 이용하면 다항식의 인수를 찾을 수 있다.

방법: $P(a) = 0$이 되는 $a$를 찾으면 $x - a$가 인수이다.

예를 들어

$$P(x)=x^3-4x^2+x+6$$

의 인수를 찾아보자.

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6) 인수분해에의 활용

삼차 이상의 다항식은 곱셈 공식만으로 인수분해하기 어려운 경우가 있다. 이때 인수 정리를 이용하면 인수를 하나씩 찾아 인수분해할 수 있다. 아래 인수분해 절에서는 공통인수·공식과 함께 이 방법을 체계적인 순서로 정리한다.

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7) 예제

다항식

$$P(x)=x^3-5x^2+7x-3$$

을 인수분해하시오.

조립제법으로 $x - 1$로 나누기:

조립제법

1

x³

x²

x

상수

1

-5

7

-3

1

-4

3

1

-4

3

0

나머지

따라서

$$x^3-5x^2+7x-3=(x-1)(x^2-4x+3)=(x-1)^2(x-3)$$

이다.

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8) 핵심 정리

개념	설명
인수	다항식을 곱의 형태로 나타낼 때의 각 인수
인수 정리	$P(a) = 0 \Leftrightarrow x - a$는 인수
근	$P(a) = 0$을 만족하는 $a$
근 ↔ 인수	$a$가 근이면 $x - a$가 인수
활용	삼차 이상 다항식의 인수분해

인수 정리의 핵심은 다음과 같다.

• $P(a)=0$이면 $P(x)$는 $x-a$로 나누어떨어진다.
• $P(x)$가 $x-a$로 나누어떨어지면 $P(a)=0$이다.
• $P(a)=0$을 만족하는 $a$는 방정식 $P(x)=0$의 근이다.
• $a$가 $P(x)=0$의 근이면 $x-a$는 $P(x)$의 인수이다.
• 인수 정리는 다항식의 인수를 찾고, 삼차 이상의 다항식을 인수분해할 때 활용된다.

따라서 인수 정리는 다항식의 값이 0이 되는 수와 다항식의 인수를 연결해 주는 정리이다.

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연습 문제

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인수를 하나 찾았다면 곱의 형태로 나타낼 수 있지만, 처음부터 체계적으로 인수분해하려면 공통인수 → 공식 → 인수 정리 순서를 따르는 것이 좋다.

2. 인수분해

1) 인수분해의 뜻

앞에서 인수는 다항식을 곱으로 나타낼 때의 각 요소라고 했다. 인수분해는 그 반대 과정으로, 하나의 다항식을 인수들의 곱으로 되돌리는 것이다.

예를 들어

$$x^2+5x+6=(x+2)(x+3)$$

이므로 $x+2$, $x+3$은 $x^2+5x+6$의 인수이다.

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2) 공통인수 묶기

분배법칙 $a(b+c)=ab+ac$ 를 거꾸로 이용하면 $ab+ac=a(b+c)$ 이다.

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3) 공식 이용하기

공식 유형	인수분해 공식
합의 제곱	$a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2$
차의 제곱	$a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$
차의 제곱 (두 항)	$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$
합의 세제곱	$a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 = (a+b)^3$
차의 세제곱	$a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3 = (a-b)^3$
세제곱의 합	$a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$
세제곱의 차	$a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$

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4) 제곱식의 인수분해

제곱식으로 인수분해할 때 확인할 것:

1. 첫째 항과 마지막 항이 각각 제곱꼴인가?
2. 가운데 항이 두 식의 곱의 2배인가?

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5) 차의 제곱의 인수분해

$$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$$

두 항이 모두 제곱꼴이고, 사이 부호가 빼기일 때 사용한다.

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6) 세제곱 공식의 인수분해

$$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$$ $$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$$

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7) 완전세제곱식의 인수분해

$$a^3+3a^2b+3ab^2+b^3=(a+b)^3$$ $$a^3-3a^2b+3ab^2-b^3=(a-b)^3$$

예: $x^3+6x^2+12x+8 = x^3 + 3x^2 \cdot 2 + 3x \cdot 2^2 + 2^3 = (x+2)^3$

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8) 인수정리를 활용한 인수분해

공통인수나 공식만으로 바로 인수분해하기 어려운 삼차 이상의 다항식은 인수정리를 이용한다.

예: $P(x)=x^3-4x^2+x+6$

조립제법

2

x³

x²

x

상수

1

-4

1

6

2

-4

-6

1

-2

-3

0

나머지

따라서

$$x^3-4x^2+x+6=(x-2)(x-3)(x+1)$$

이다.

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9) 인수분해의 기본 순서

단계	방법	예시
1	공통인수 묶기	$3x^2 + 6x = 3x(x+2)$
2	공식 적용	$x^2 - 9 = (x+3)(x-3)$
3	인수정리	$P(2)=0$ → $x-2$가 인수
4	몫 재분해	조립제법 + 이차식 인수분해

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10) 주요 인수분해 공식 정리

유형	공식
합의 제곱	$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$
차의 제곱	$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$
차의 제곱 (두 항)	$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$
합의 세제곱	$a^3+3a^2b+3ab^2+b^3=(a+b)^3$
차의 세제곱	$a^3-3a^2b+3ab^2-b^3=(a-b)^3$
세제곱의 합	$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$
세제곱의 차	$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$

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11) 핵심 정리

인수분해에서 중요한 내용은 다음과 같다.

• 인수분해는 하나의 다항식을 두 개 이상의 다항식의 곱으로 나타내는 것이다.
• 모든 항에 공통인수가 있으면 먼저 공통인수로 묶는다.
• 곱셈 공식을 거꾸로 이용하여 제곱식, 차의 제곱, 세제곱식을 인수분해한다.
• 삼차 이상의 다항식은 인수정리를 이용하여 인수를 찾을 수 있다.
• 인수를 찾은 뒤에는 조립제법으로 몫을 구하고, 남은 식을 다시 인수분해한다.

따라서 인수분해는 공통인수를 먼저 찾고, 공식 적용이 가능한지 확인한 뒤, 필요하면 인수정리를 이용하는 과정이다.

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연습 문제